🪼 Menentukan Determinan Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor
MenghitungDeterminan dengan ekspansi kofaktor Misalkan sebuah matriks bujur sangkar berukuran n x n : Sebelum memaparkan penentuan determinan dengan menggunakan operasi baris elementer, perhatikan beberapa definisi berikut : sehingga kita dapat menentukan tak semudah diatas. Dalam menentukan determinan suatu matriks. Dengan menggunakan
Menentukandeterminan matriks persegi 4×4 dapat dilakukan dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor. Pada file tersebut saya membuatnya untuk 4 cara mencari invers matriks 3×3, untuk matriks lain dengan ordo 2×2 atau 4×4 anda dapat.
1 Transfose dari matriks 2. Beberapa jenis matriks khusus 3. Transformasi (operasi) elementer baris dan kolom 4. Soal-soal 1. Matriks Echelon 2. Matriks Ekivalen 3. Matriks elementer 4. Rank Matriks 5. Permutasi genap dan ganjil 6. Soal-soal 1. Sifat-sifat determinan 2. Minor dan kofaktor 3. Penguraian (ekspansi) secara baris dan kolom 4
Khususnyauntuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dari 3x3, metode ini lebih efisien untuk menghitung determinan matriks. TEOREMA 1 Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar a. Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka \(det(A)=0\) Ekspansi Kofaktor : Aturan Cramer.
Tentukandeterminan matriks A dengan cara ekspansi kofaktor menurut baris kedua Jawab: = 2 (10+7) + 4 (6-28) - 3 (-3-20) = 2 (17) + 4 (-22) -3 (-23) = 15 Jadi det (A) = 15, untuk membuktikannya coba menggunakan cara sarrus atau kofaktor menurut baris lainnya! Artikel Terkait Tags # Aljabar Matriks Pesan dari Muhammad Rahmi
Perhitungannilai determinan matriks yang diketahui selama ini yaitu metode Sarrus dan ekspansi kofaktor atau ekspansi Laplace. Metode Sarrus digunakan untuk matriks ordo dan . Sedangkan untuk ordo lebih dari 3 biasanya digunakan ekspansi kofaktor yaitu pengambilan baris atau kolom sebarang, setelah itu dijumlahkan.
matriks menentukan solusi sistem persamaan linear dengan aturan cramer, pemeriksaan basis suatu ruang vektor dan lain- (permutasi), operasi baris elementer dan ekspansi kofaktor. Selain itu, akan dijelaskan hubungan determinan dengan invers matriks
Catatan Metode ini hanya bisa digunakan untuk matriks ordo 3×3 2. Metode Ekspansi Laplace Metode ini menggunakan bantuan determinan matriks 2×2 yang terbentuk dari pencoretan baris ke i dan kolom ke j.Kita dapat memilih akan mengekspansi ke arah mana yang kita mau, bisa searah baris ke i bisa juga searah kolom ke j.Contohnya dengan matriks A yang sama dengan contoh di atas dan kita ekspansi
matriksdeterminan 3×3 invers soal ordo rumus sifat mencari idschool sifatnya metode sarrus jawabannya tentukan cepat 2×2 aturan perhitungan kolom. Matriks ordo adjoin invers determinan kofaktor mencari rumus langkah menyelesaikan ekspansi menentukan nilai mengerjakan wijaya irawan metode menghitung aljabar materi. 4 cara mencari invers
InversMatriks Ordo 3x3. Invers matriks ordo 3x3 dapat dicari dengan beberapa cara, diantaranya yaitu dengan adjoint dan operasi baris elementer. Namun untuk bahasan kali ini, hanya akan kita bahas dengan cara adjoint saja. Jika A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33), maka invers matriks A adalah A − 1 = 1 d e t A ⋅ a d j o i n
Untukmenentukan determinan matriks A menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama berarti rumusnya menjadi det (A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Sehingga yang kita tentukan terlebih dahulu kofaktor C 11, C 12, dan C 13 .Namun, karena kita telah menemukannya tadi jadi kita dapat menggunakannya langsung
Matriksjuga dapat berbentuk persegi dengan ukuran 2×2, 2×3, 3×3, 4×4, dan masih banyak lagi. Cara menentukan determinan matriks berordo 3 x 3 berbeda dengan determinan matrik yang berordo 2 x 2. Ini dihitung dengan mengalikan anggota diagonal utamanya & matriks reduksi menjadi bentuk eselon baris. Aturan sarrus untuk menentukan determinan
97X7i.
Definisi Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri $a_{ij}$ dinyatakan oleh $M_{ij}$ dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom j dicoret dari A. Bilangan $-1^{i+j}M_{ij}$ dinyatakan oleh $C_{ij}$ dan dinamakan kofaktor entri $a_{ij}$ Minor Minor dari suatu unsur adalah suatu determinan yang dihasilkan setelah terjadi penghapusan baris dan kolom di mana unsur itu terletak. Contoh $M_{12}=\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$ Kofaktor Kofaktor dari suatu unsur adalah minor unsur itu berikut tanda. Kofaktor dari suatu unsur yang terletak pada garis ke-i dan ke-j dirumuskan sebagai berikut $-1^{i+j}M_{ij}$ dengan i = 1,2,3,.... j = 1,2,3,.... Contoh $\begin{bmatrix}3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8\end{bmatrix}$ Minor entri $a_{ij}$ adalah $M_{11}=\begin{bmatrix}3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}5 & 6\\ 4 & 8\end{vmatrix}=16$ Kofaktor $a_{ij}$ adalah $C_{11}=-1^{1+1}M_{11}=M_{11}=16$ Cara cepat menentukan apakah + atau - yaitu $\begin{bmatrix}+ & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots\\ + & - & + & - & + & \cdots\\ - & + & - & + & - & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{bmatrix}$ Contoh soal 1. Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix}3 & 5 & 7\\ -2 & 4 & 3\\ 4 & -1 & 2\end{bmatrix}$. Tentukan determinan matriks A dengan cara ekspansi kofaktor menurut baris kedua Jawab $\begin{vmatrix}3 & 5 & 7\\ {\color{Red}-2} &{\color{Red}4} &{\color{Red}3}\\ 4 & -1 &2\end{vmatrix}$ $=-2\begin{vmatrix}5 & 7\\ -1 &2 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}3 & 7\\ 4 &2 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}3 & 5\\ 4 &-1 \end{vmatrix}$ = 210+7 + 46-28 - 3-3-20 = 217 + 4-22 -3-23 = 15 Jadi det A = 15, untuk membuktikannya coba menggunakan cara sarrus atau kofaktor menurut baris lainnya!
Daftar Isi Apa itu Ekspansi Kofaktor?Contoh 1 Menghitung Determinan dengan Metode Ekspansi KofaktorContoh 2 Kelebihan Metode Ekspansi Kofaktor1. Dapat diterapkan pada matriks persegi 2×2 atau Efektif untuk yang suka perhitungan manual dan secara Konsep kofaktor berguna untuk mencari invers Metode Ekspansi KofaktorContoh 3 Apa itu Ekspansi Kofaktor?Metode ekspansi kofaktor adalah suatu metode untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor yang mengutamakan kemampuan berhitung secara manual dan secara apa itu kofaktor?Metode SarrusMetode Kupu-KupuSebelum mengenal apa itu kofaktor, mari kita ingat kembali pada saat duduk di bangku SMA kita sudah mengenal dan memahami aturan sarrus untuk matriks 3×3 dan metode kupu-kupu untuk matriks 2×2.Perhatikan contoh berikut Didefinisikan matriks \A\ dan \B\ sebagai berikut $$A=\left[{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right],~B=\left[{\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$$Kita akan menentukan determinan matriks \A\ dan \B\. Berdasarkan metode kupu-kupu pada matriks \A\ kita peroleh $$\begin{aligned}\text{det}A&=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=a_{11}-1^{1+1}a_{22}+a_{12}-1^{1+2}a_{21}\\&=a_{11}-1^{1+1}\left{a_{22}}\right+a_{12}-1^{1+2}\left{a_{21}}\right\end{aligned}$$dan pada matriks \B\ dengan berdasarkan aturan sarrus dan kupu-kupu kita peroleh $$\begin{aligned}\text{det}B&=b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32}-b_{13}b_{22}b_{31}-b_{11}b_{23}b_{32}-b_{12}b_{21}b_{33}\\&=b_{11}-1^{1+1}\left{b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}}\right+b_{12}-1^{1+2}\left{b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}}\right+b_{13}-1^{1+3}\left{b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}}\right\\&=b_{11}-1^{1+1}\left{\begin{array}{cc}b_{22}&b_{23}\\b_{32}&b_{33}\end{array}}\right+b_{12}-1^{1+2}\left{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{23}\\b_{31}&b_{33}\end{array}}\right+b_{13}-1^{1+3}\left{\begin{array}{cc}b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{array}}\right\end{aligned}$$Dari pernyataan di atas bahwa determinan matriks \B\ dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks yang lebih kecil, begitu pula pada matriks \A\.Kemudian pada contoh di atas tanpa kita sadari, juga telah menerapkan konsep kofaktor, untuk lebih jelasnya, berikut definisi kofaktor Definisi Kofaktor Jika \A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]\ maka kofaktor dari \a_{ij}\ dapat lambangkan \C_{ij}\ dan \C_{ij}=-1^{i+j}M_{ij}\, dengan \M_{ij}\ menyatakan minor dari \a_{ij}\ dan \M_{ij}\ adalah determinan dari submatriks \A\ yang diperoleh dengan mencoret semua entri pada baris ke-\i\ dan semua entri pada kolom ke-\j\.Baca juga Definisi Fungsi Determinan dengan Perkalian ElementerContoh 1 Tentukan minor dan kofaktor dari entri \a_{12}, a_{31}\ dan \a_{23}\ pada matriks \A\ berikut $$A=\left[{\begin{array}{ccc}2&-1&1\\1&0&-1\\2&-2&0\end{array}}\right]$$Penyelesaian Minor \a_{12}\ diperoleh dengan cara mencoret semua entri pada baris ke-\1\ dan semua entri pada kolom ke-\2\, kemudian dihitung determinannya $$M_{12}=\left{\begin{array}{cc}1&-1\\2&0\end{array}}\right=10-12=2$$dan kofaktor dari \a_{12}\ adalah $$C_{12}=-1^{1+2}M_{12}=-1\times 2=-2$$Dengan cara yang sama kita cari minor dan kofaktor dari \a_{31}\ dan \a_{23}\.$$M_{31}=\left{\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}}\right=1~\text{sehingga}~C_{31}=-1^{3+1}M_{31}=1$$dan$$M_{23}=\left{\begin{array}{cc}2&-1\\2&-2\end{array}}\right=-2~\text{sehingga}~C_{23}=-1^{2+3}M_{23}=2$$Selanjutnya kita akan menghitung determinan suatu matriks persegi dengan menerapkan konsep ekspansi Determinan dengan Metode Ekspansi KofaktorDeterminan dari matriks \A_{n\times n}=\left[{a_{ij}}\right]~\forall~i,j =\{1,2,3,\dots,n\}\ dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau dalam suatu kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Kemudian menjumlahkan semua hasil-hasil kali yang dihasilkan, atau dapat ditulis $$\text{det}A=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\dots+a_{in}C_{in}$$Karena baris ke-\i\ menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-\i\$$\text{det}A=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\dots+a_{nj}C_{in}$$Karena kolom ke-\j\ menjadi acuan, maka disebut juga ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-\j\Contoh 2 Didefinisikan matriks \A\ sebagai berikut $$A=\left[{\begin{array}{ccc}3&0&-2\\2&5&1\\-1&3&1\end{array}}\right]$$Dengan metode ekspansi kofaktor tentukan determinan matriks \A\.Penyelesaian Tips pilih baris atau kolom yang mengandung banyak unsur/entri nol agar perhitungan menjadi lebih pilih baris pertama \a_{12}=0\ sehingga kita dapat tuliskan $$\begin{aligned}\text{det}A&=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\\&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\dots*\end{aligned}$$Kemudian kita cari nilai dari masing-masing kofaktor $$M_{11}=\left{\begin{array}{cc}5&1\\3&1\end{array}}\right=2~\Rightarrow~C_{11}=-1^{1+1}2=2$$$$M_{13}=\left{\begin{array}{cc}2&5\\-1&3\end{array}}\right=11~\Rightarrow~C_{13}=-1^{1+3}11=11$$Sehingga jika kita subtitusikan ke persamaan \*\ akan diperoleh $$\begin{aligned}\text{det}A&=a_{11}C_{11}+a_{13}C_{13}\\&=32+-211\\&=-16\end{aligned}$$Baca juga Alasan Metode Sarrus Hanya Berlaku pada Matriks 3×31. Dapat diterapkan pada matriks persegi 2×2 atau metode sarrus terbatas pada ordo \3 \times 3\ maka untuk menghitung determinan dengan ordo yang lebih tinggi \4\times 4, 5\times5,\dots,n\times n\ dapat menggunakan metode ekspansi dimulai dari matriks 2×2 ?Hal ini karena pada matriks 1×1 dalam mencari determinannya cukup menggunakan definisi saja, dimana jika terdapat matriks \A_{1\times1}=\left[a_{11}\right]\ maka determinannya adalah \\text{det}A=a_{11}\.2. Efektif untuk yang suka perhitungan manual dan secara ini didapat dari perbandingan dengan metode lainnya seperti aturan sarrus dan reduksi baris, dimana masing-masing mempunyai kelebihan tersendiri. Ekspansi kofaktor juga sekaligus dapat melatih ketahanan dalam berhitung, kita ambil contoh pada saat mencari determinan \A_{5\times 5}\ maka kita akan menemukan determinan dari submatriks dari \A\ yang berukuran \4 \times 4\, dimana determinan dari submatriks tersebut kita hitung juga dengan ekspansi kofaktor sehingga akan ditemukan determinan submatriks dari submatriks \A\ yang berukuran \3 \times 3\ dan paham konsep dari ekspansi kofaktor dan mempunyai hitungan yang tepat maka metode ekspansi kofaktor akan efektif Konsep kofaktor berguna untuk mencari invers saat duduk dibangku SMA pasti sudah mengenal rumus mencari invers berikut $$A_{n\times n}^{-1}=\frac{\text{Adjoin}A}{\text{det}A}$$Pada persamaan tersebut terdapat Adjoin\A\ yang didefinisikan sebagai transpose matriks kofaktor dari \A\ dapat kita tuliskan $$\text{Matriks kofaktor A}=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{12}&\dots&C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\dots&C_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{n1}&C_{n2}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$Maka $$\text{Adjoin}A=\left[{\begin{array}{cccc}C_{11}&C_{21}&\dots&C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\dots&C_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\dots&C_{nn}\end{array}}\right]$$Dari kenyataan tersebut, jelas bahwa konsep kofaktor dapat dimanfaatkan untuk mencari invers matriks. Sehingga tidak ada salahnya mempelajari ekspansi kofaktor, namun disamping itu metode ekspansi kofaktor menurut penulis masih terdapat Metode Ekspansi KofaktorMenurut penulis metode ekspansi kofaktor dalam segi kecepatan masih kurang jika dibandingkan dengan metode campuran yaitu gabungan dari macam-macam metodesarrus, kupu-kupu, ekspansi kofaktor, reduksi baris dan lainnya yang dipadukan dengan sifat-sifat postingan ini kita tidak akan membahas mengenai metode reduksi baris. Sehingga sekarang untuk membuktikan argumen tersebut, saya asumsikan kita sudah memahami metode reduksi 3 Misalkan kita akan menghitung determinan matriks \A\ sebagai berikut $$\text{det}A=\left{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\2&7&2&1\\1&6&4&-1\\-3&3&1&2\end{array}}\right$$Kita akan mereduksi matriks tersebut dengan mengenakan operasi baris elementer \-2R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\\-R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\\3R_{1}+R_{4}\rightarrow R_{4}\secara berturut-turut sehingga kita peroleh $$\text{det}A=\left{\begin{array}{cccc}1&4&5&-2\\0&-1&-8&5\\0&2&-1&1\\0&15&16&-4\end{array}}\right$$Nah, selanjutnya kita kenakan metode ekspansi kofaktor, kita pilih entri-entri pada kolom pertama dimana \a_{11}=1\ dan \a_{21}=a_{31}=a_{41}=0\.$$\begin{aligned}\text{det}A&=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}\\&=C_{11}\end{aligned}$$Dengan aturan sarrus kita peroleh $$\begin{aligned}M_{11}&=\left{\begin{array}{cccc}-1&-8&5\\2&-1&1\\15&16&-4\end{array}}\right\\&=-1-1-4+-8115+5216-5-115-1116-82-4\\&=63\end{aligned}$$Sehingga kita peroleh $$\text{det}A=C_{11}=-1^{1+1}M_{11}=163=63$$Jadi dengan menggunakan metode campuran akan lebih efektif, namun kita dituntut untuk sekreatif mungkin untuk menyusun alur perhitungan yang termudah.
menentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor
